Una moneda, un parámetro

• Lanzamos una moneda. Hay dos resultados posibles: cara o sello
• Llamamos θ (theta) a la probabilidad de obtener cara en un lanzamiento
• Si la moneda es justa: θ = 0.5. Si está trucada hacia cara: θ > 0.5
• θ es un parámetro: un número fijo que describe una propiedad del mundo

¿Qué pasa si repetimos el experimento?

• Supón que θ = 0.5 (moneda perfectamente justa)
• Lanzas la moneda 20 veces y cuentas cuántas caras obtienes
• Si repitieras ese experimento miles de veces, ¿qué resultados serían más frecuentes?

Esto es una distribución de probabilidad: nos dice qué resultados esperar si conociéramos θ.
Pero el problema real es el contrario: observamos los datos y queremos inferir θ.

Del parámetro a los datos… y de vuelta

• Probabilidad (hacia adelante): si sé que θ = 0.5, predigo la distribución de resultados
• Inferencia (hacia atrás): observo los datos y quiero estimar θ
• Lanzamos la moneda 20 veces y obtenemos 14 caras
• ¿Es esta moneda justa? ¿Cuál es el valor de θ?

Lógica frecuentista

• θ es fijo y desconocido, no tiene distribución de probabilidad
• La probabilidad se entiende como frecuencia a largo plazo en experimentos repetidos
• Proponemos una hipótesis nula (H₀): “la moneda es justa” → θ = 0.5
• Si H₀ fuera cierta, la distribución de caras esperada es la que ya vimos
• Preguntamos: ¿qué tan raros serían nuestros 14 caras bajo esa distribución?

El valor p

• El valor p es la probabilidad de obtener un resultado tan extremo o más extremo que el observado, asumiendo que H₀ es cierta
• No es la probabilidad de que H₀ sea verdadera
• Convencionalmente se rechaza H₀ si p < 0.05 (umbral arbitrario que puede cambiar)
• Cuando p es muy pequeño (cercano a 0): los datos serían muy raros si H₀ fuese cierta. Entonces hay evidencia contra H₀

Resultado frecuentista

Figura 2

¿Qué es la verosimilitud?

• En vez de preguntar “¿qué tan raros son mis datos?”, preguntamos: ¿qué valor de θ hace que los datos observados sean más probables?
• La verosimilitud (likelihood, \(L\)) de un valor θ dado los datos es la probabilidad de observar esos datos si θ tomara ese valor
• Para datos binomiales: \(L(\theta) = \binom{n}{k}\,\theta^k\,(1-\theta)^{n-k}\)

La curva de verosimilitud

Figura 3

Comparando hipótesis: la razón de verosimilitud

• La razón de verosimilitud (likelihood ratio, LR) compara dos hipótesis:

\[LR = \frac{L(\theta_1 \mid \text{datos})}{L(\theta_0 \mid \text{datos})} = \frac{P(\text{datos} \mid \theta_1)}{P(\text{datos} \mid \theta_0)}\]

• LR = 1 → ambas hipótesis igualmente compatibles con los datos
• LR = 5 → H₁ es 5 veces más compatible con los datos que H₀
• LR = 0.2 → H₀ es más compatible (5 veces) que H₁

Resultado de verosimilitud

Figura 4

Lógica bayesiana

• Las aproximaciones anteriores tratan θ como fijo (aunque desconocido)
• El enfoque bayesiano va un paso más allá: θ tiene una distribución de probabilidad
• Esto permite incorporar conocimiento previo (prior) antes de ver los datos
• Y actualizar ese conocimiento con la evidencia observada → el posterior

Los tres ingredientes

• Prior \(P(\theta)\): lo que creemos sobre θ antes de ver los datos.
  Puede ser vago (“no sé nada”) o informativo (“la moneda debe ser justa”)

• Verosimilitud \(P(\text{datos} \mid \theta)\): la misma función que ya vimos:
  qué tan probable es observar los datos para cada valor de θ

• Posterior \(P(\theta \mid \text{datos})\): nuestra creencia actualizada sobre θ
  después de combinar prior y datos

Paso 1: El prior

Figura 5

Paso 2: Los datos (verosimilitud)

Figura 6

Paso 3: El posterior

Figura 7

¿Cuánto importa el prior?

• El prior refleja cuánto sabemos antes de los datos y cuánto cuesta cambiar esa creencia
• Prior débil (vago): pocas suposiciones → los datos dominan rápidamente
  “No tengo idea de si esta moneda es justa o no”
• Prior moderado: creencia razonable pero dispuesta a cambiar
  “Probablemente es una moneda normal, pero podría estar trucada”
• Prior fuerte: convicción firme que requiere mucha evidencia para moverse
  “Esta moneda salió de fábrica calibrada: casi seguro es justa”

El prior importa más cuando hay pocos datos

Figura 8

Las tres aproximaciones lado a lado

Para profundizar

Recomendada (Compara las diferentes formas de inferencia de manera muy accesible)

• Lakens, D. (2021). Improving Your Statistical Inferences [libre y en línea]

Especializadas

• Frecuentista: Cualquier manual clásico de estadística; por ejemplo:
  • Gillard, J. (2020). A first course in statistical inference. Springer
• Verosimilitud:
  • Royall, R. (1997). Statistical Evidence: A Likelihood Paradigm. Chapman & Hall
• Bayesiana:
  • McElreath, R. (2020). Statistical Rethinking: A Bayesian Course with Examples in R and STAN (2ª ed.). CRC Press